Fundamentos del Sistema                 

       Madroños (F. Moreno Torroba) (interprete Rene Mora).

 

  Hasta Euler y d'Alembert, la música y las matemáticas se estudiaban conjuntamente, siendo el patrón de unión los criterios de las proporciones, Pitágoras, Ptolomeo, Descartes (Compendio musical), Galileo (Discurso), sin embargo, las nuevas teorías de armonía, con las que trabajó Euler, fueron demasiado matemáticas para los músicos.

 Por otro lado, la música progresaba hasta cotas inimaginables, (Bach, Haendel, Mozart, Beethoven) y así tenemos la situación en la que la matemática es compleja para los músicos y la música, demasiado musical para los matemáticos.

 Esta separación es aparente, ya que los compositores y músicos han continuado utilizando los criterios de simetrías, progresiones musicales o los criterios de proporciones, por ejemplo el que aporta el numero de Fibonacci (Leonardo de Pisa), Chopín (1810-1849) decía que la fuga era lógica pura.

 Parece, como si el músico hasta muy recientemente se hubiese estancado en explotar solamente los criterios matemáticos sencillos, sin llegar a los nuevos desarrollos matemáticos, posiblemente la demanda musical del gran publico haya condicionado esta situación.

 

 http://www.anarkasis.com/pitagoras/052_matematica/

 

 http://www.anarkasis.com/pitagoras/061_modulo/

 

 Dado que los fundamentos del Sistema son básicamente de tipo matemáticos, retomamos la unión entre la música y la matemática, para una aplicación muy concreta, la construcción de instrumentos y lo vamos ha hacer solamente de forma conceptual.

 

 Lo primero es entender y comprobar, algo que todos conocemos y es como influye la forma de un instrumento sobre el sonido, por esta razón vamos a reflexionar sobre unos sencillos ejemplos.

 

 Tenemos un tubo y una campana, ambos construidos con el mismo metal y el mismo grosor de paredes, es fácil comprobar que suenan diferente, es más con cerrar el tubo por unos de sus extremos ya cambia el sonido.

 

 Si además, ajustamos sus diámetros y sus curvas a las frecuencias armónicas de afinación en la campana, tendremos una afinada a una determinada nota, con al menos dos armónicos de octava, uno grave y el otro el correspondiente a la octava aguda, consiguiéndose además, una mayor duración del sonido, por una auto-alimentación de los armónicos y por tanto, una mejor y mayor sonoridad y por supuesto con una mayor proyección.

          

 Otro sencilla observación, es la de las copas más o menos llenas de agua, la frecuencia emitida, (la nota musical) es diferente en función de la cantidad de agua que pongamos, por tanto la longitud del borde vibrante y el espacio vacío condicionan la nota.

 

Otro ejemplo, con el que todos estamos muy familiarizados es cuando llenamos una botella o un tubo, a medida que se va llenando va cambiando el sonido es una secuencia contínua hacia los tonos más agudo, en este efecto sonoro habrá frecuencias ajustadas a notas de acuerdo con una referencia de afinación y otras que son intermedias, es lo mismo que decir, que existen volúmenes ajustados y otros intermedios que no lo son.

           

 Helmholtz, relacionó el sonido con el volumen del resonador y también en un instrumento de viento, con la longitud y área de la boca, si bien, quedaron cuestiones sin resolver que hoy ya están resueltas.

           

 La primera pregunta que surge ¿el volumen de la guitarra esta ajustado?

           

 (Eduardo Thénon) presenta un interesante articulo en el que se cuestiona la identidad acústica de la guitarra en función de la respuesta a los diferentes tonos de afinación.

             

                 http://guitarreando.iespana.es/identidad.htm      

 

 ….. Torres pudo haber diseñado la caja de resonancia de manera que amplificara los armónicos de generadores afinados por el diapasón de 404 ciclos, …………

 …… las guitarras modernas resuenen sobre la basé de un diapasón antiguo, significaría que son instrumentos desactualizados. Esta es una conclusión grave, pero surge del análisis realizado y no creemos conveniente disimularlo…..

 …… la nueva identidad acústica será aquella que haga coincidir el La de resonancia o armónico de construcción con el La normal en uso. Así, se obtendría el juego de resonancias capaz de dar riqueza armónica, sin perder por ello la condición de instrumento actualizado…..

  Además se evitarían de ese modo los choques armónicos presentes en la guitarra hoy…... También se evitará de ese modo la "solución" de eliminar la resonancia del instrumento como manera de superar las reverberaciones indeseables……

 

 En general, la guitarra actual, se diseña con los criterios de proporciones y se hace a partir de un “tiro” de 650 mm., que es el más demandado y así la longitud de la caja es tres cuartas partes del “tiro”, el aro mayor es tres cuartas partes de la longitud de la caja y el aro menor tres cuartas partes del aro mayor. Entonces necesitamos comprobar si la superficie vibrante esta ajustada o dicho de otra forma ¿La frecuencia La 440 Hz es la más adecuada, para el tiro más demandado (650 mm.)?.

 

 El autor del Sistema presento una publicación de título “La afinación de la orquesta y el tiro de la guitarra dos polémicas sin resolver”.

 

             http://opusmusica.com/003/guitarra.html

Andrés Segovia, defendió siempre el “tiro” de 660 mm (66 cm) e incluso mayores, con él han coincidido y coinciden los guitarristas flamencos y otros muchos; en el otro extremo de la polémica se encuentran un numeroso grupo de interpretes que demandan el “tiro” de 650 mm (65 cm), incluso menores aduciendo razones anatómicas.

 En otro punto señala, la relación entre las distancias nodales y las frecuencias emitidas que son inversamente proporcionales a la constante de las progresiones armónicas con la de progresión nodal.

…….. una cuerda de nailon (nylon) tiene un módulo elástico muy diferente a la que tiene una de acero, sin embargo, ajustadas las dos a una determinada frecuencia de afinación, ambas tienen la misma progresión nodal (trastes) y la misma progresión musical (frecuencias), por tanto, la progresión de frecuencias y la progresión de distancias nodales, es independiente del material empleado,……..

Dicho de otra forma; la progresión musical es una función de λ ya que para pasar de un semitono a otro dividimos o multiplicamos por λ, lo mismo ocurre con  la distribución de trastes o distancias nodales que multiplicamos o dividimos en función de la distancia que queramos obtener.

 

2 -1/12 = λ = 1.0594630943593

 

 La solución sobre la polémica del "tiro de la guitarra" la resuelve justificando las razones de unos y de otros así, los defensores del tiro de 660 mm. tienen sus razones por que es, el ajustado a la frecuencia de afinación de 440 Hz (Acuerdo de Londres 1939) (659,25 mm) y los que demandan el tiro de 650 mm., también tienen razón, ya que defienden de una forma inconsciente los Armónicos Universales (645 mm).

 

 También el Instituto Schiller, lleva años defendiendo a los músicos que utilizan su voz (tenores, barítonos, sopranos, etc.) y lo relacionado con la defensa de los Armónicos Universales que se ajusta a la afinación utilizada por Verdi y defendida por el gobierno Italiano de la época.

 

             http://schillerinstitute.org/newspanish/InstitutoSchiller/Arte/afinacionantigua.html

 

 …… los científicos más destacados en esta área, han fundamentado nuevamente la coherencia del La = 432 (que corresponde a un Do5 = 256) con las leyes que gobiernan el universo físico, desde la organización de nuestro sistema solar, hasta la producción de la voz humana. Desde una visión científica avanzada, ellos han demostrado que cualquier otra afinación, basada en el La = 440, 443, ó 450 no solo no refleja la ley natural sino que la viola, produce daños reales en la voz humana.

 

 Una pequeña matización el La = 432 para que esté ajustado a los Armónicos Universales es La = 430.54 Hz.

 

  Abundando más en la polémica de la afinación de la orquesta recogemos esta dirección:

 

              http://es.wikipedia.org/wiki/Afinaci%C3%B3n

 

 En la que podemos comprobar las diversas afinaciones que se han utilizado.

 

De tal forma que el La en 440 Hz es la media aritmética ponderada y redondeada de todas las afinaciones que han existido.

 

Otro pilar de las investigaciones para el desarrollo del sistema, ha sido reflexionar sobre la evolución de los gustos, las exigencias musicales, las técnicas de interpretación, los medios tecnológicos, los materiales disponibles para su construcción, etc.

 

 Por ejemplo, las características de los materiales con los que se construían las cuerdas (tripa), nada tienen en común con los actuales, nylon y/o acero, es un caso de aprovechamiento del desarrollo tecnológico, ya que muchas de las cuerdas que se utilizan actualmente, son fabricadas para otras aplicaciones distintas a la música.

 

 En un futuro no muy lejano, los criterios físico-matemáticos se impondrán y la fabricación se realizará específicamente para aplicaciones musicales.

 

Un sencillo y simplificado ejemplo, que aparece en cualquier tratado de acústica, nos funciones, que nos van a poder ilustrar sobre dos cuestiones importantes: el porque los armónicos refuerzan la nota principal y la segunda cuestión; como se relacionan las diferentes dimensiones, con las frecuencias que emite un instrumento musical (tiro,  tamaño y forma de la tapa armónica, volumen de la caja, etc.), estos sencillos ejemplos con funciones trigonométricas muy simples dejan entrever una vez más, la relación entre la música y Matemática.

 

 Los ejes son:

X longitudes

Y unidades de potencia sonora.

 

 

 Cuando las ondas interfieren con el eje X la energía portante es 0 por tanto es el punto en el que se deben situar, por ejemplo los limites de la tapa armónica.

 

 Esta grafica nos marca, la distancia y sus múltiplos, donde se deben situar los puntos de ruptura de la onda para que no se ocasionen perdidas de energía,  ya que en el punto en el concurren  los dos trenes de onda la distancia en el caso de sen 4x a dos veces la longitud de onda de esta función y en el caso de sen 6x a tres veces.

 

 Existe otro nodal secundario a una vez  en la función sen 4x y a una vez y media en la sen 6x.

 

 Cabe preguntarse ¿como se puede calcular para las diferentes frecuencias? la respuesta esta en que todas las frecuencias emitidas por el instrumento, si esta bien construido tienen que ser múltiplos de la constante de progresión λ y de la frecuencia de referencia, actualmente 440 Hz.

 

 Estas reflexiones nos llevan a las estructuras internas de los instrumentos.

 

 En todos los instrumentos de cuerda, los dos parámetros fundamentales que se deben estudiar son: la distribución de los esfuerzos generados al tensar las cuerdas y sus características de vibración como generador del sonido.

 

 Hasta hace poco tiempo, el elemento que más se consideraba era el de evitar la deformación de la tapa armónica frente a los esfuerzos generados por la tensión de las cuerdas. La corrección de la forma de la onda de propagación en el propio elemento vibrante y que es el que genera el sonido no se consideraba.

 

 En la guitarra, la dirección de esfuerzo dominante es el de tracción, sin embargo, al ir atadas las cuerdas, en el puente de la tapa, en un punto inferior al hueso, existe una componente de presión negativa, en la parte delantera, es decir, el puente se hunde hacia la caja y otra deformación positiva (levantamiento) en la parte trasera donde se anudan las cuerdas. Por tanto, unido al efecto de tracción tenemos otro de flexo-rotación, esto justifica las estructuras de varetajes que conocemos.

 

  Los sistemas anteriores a Antonio Torres Jurado, pegaban dos varetas rectas delante y detrás del puente, su innovación fue utilizar un sistema en abanico, para compensar estas deformaciones llegando a demostrar que todas las tensiones se repartían en la tapa armónica, llegando a construir una guitarra con aros y fondos de cartón. Este sistema  de construcción ha evolucionado con numerosas modificaciones, sin embargo, su esencia es la misma siendo el que más utilizado hasta la fecha.

 

  Recientemente, han aparecido sistemas de malla, unos de forma regular y otros irregulares que pretenden ser una mezcla del sistema antiguo (barroco?) con el sistema en abanico.

 

  En otros casos, se está acudiendo a materiales híbridos (naturales-fibras de carbono), que indudablemente cuestionan aquellos estudios que achacaban el bien sonar del instrumento a la vejez de la madera.

 

  En todos los casos de construcción, al final la evaluación se resume en algo tan simple como suena mejor o suena peor, que es como todos podemos entender es algo subjetivo. Actualmente existen técnicas que nos permiten valorar y cuantificar la calidad del sonido en claridad y volumen, dos instrumentos grabados en las mismas condiciones dan espectros de curvas diferentes.

 

  En cualquier caso, lo cierto es que el denominador común de todos estos diseños es el compensar estos dos efectos de deformación de la tapa armónica, tracción y el de flexo-rotación.

 

 Actualmente y gracias a la capacidad de cálculo que nos da el uso de los ordenadores, ha sido posible crear un diseño diferente, compatibilizando la distribución de los esfuerzos que tiene que soportar la tapa armónica con los efectos de vibración y la forma de propagación a lo largo de la tapa (movimiento ondulatorio) que son  los responsables de generar el sonido.

 

  El sonido se propaga en el aire de forma esférica, sin embargo, en la tapa armónica la forma de propagación es haciendo una abstracción aproximadamente elíptica y plana,  ya que las ondas van más rápidas en el sentido de la veta de la madera, como la elipse tiene dos centro (focos), o lo que es lo mismo dos focos emisores, si estos no se sitúan adecuadamente puede dar lugar a emisiones sonoras que generen fases destructivas al fundirse ambas ondas en las correspondientes esferas de propagación del sonido en el aire, para evitar esto se diseñó el varetaje curvo perpendicular a la veta de la madera, corrigiendo la forma de propagación en la tapa armónica.

 

  La inquietud por mejorar la sonoridad de la guitarra ha sido permanente como lo demuestran las numerosas patentes (mas de 200) realizadas, como curiosidad recogemos los autores de algunas de ellas por ser fabricantes y/o músicos destacados:

 

Narciso Yepes                                                1964

Michael Kasha                                                1967

Melchor Rodríguez                                          1973

Melchor Rodríguez                                          1980

José Ramírez Martínez                                     1984

Manuel González Contreras                             1988

Antonio Losada Ordóñez                                 1989

Santos Bayón Ruiz                                           1994

Mariano y Felipe Conde Cavia                         1998

   

   ¿Qué sonido se busca en la guitarra?, todos coinciden en pedir mayor volumen sonoro, sin embargo, podemos asegurar que cuando nos introducimos en los matices del timbre cada guitarrista tiene una apreciación diferente del sonido y un hecho que se produce cuando subimos el volumen, es que perdemos parte de la magia de esa delicadeza característica de la guitarra. Por tanto, tenemos el dilema ¿mantenemos el timbre y la fragilidad de sonido o aumentamos el volumen?; una expresión que hemos observado es la de oír a los guitarristas “suena muy fuerte pero no suena a guitarra”, por esta razón nos hemos inclinado por dar a la guitarra un poco más de volumen pero sobre todo mas claridad, con el fin darle mayor proyección y sobresalir por encima de otras voces. Un ejemplo, lo tenemos cuando se reúnen un grupo de personas todas hablando a la vez, generalmente la voz que sobresale es la más clara, no necesariamente la de mayor volumen.

 

  Esta proyección la hemos podido constatar en diferentes auditorios, teatros,  salas de conciertos, etc., pruebas de grabación con micrófonos en distintas partes de la sala demuestran la escasa perdida de sonido con respecto a los micrófonos de escenario.

 

  En las grabaciones de discos se nota un efecto de mayor claridad, sin necesidad de utilizar ecualizaciones de tal forma que los técnicos de sonido captan inmediatamente la diferencia.

 

  Las amenizaciones musicales de toda la pagina, proceden de una grabación directa, sin ecualizaciones y sin correcciones, queremos resaltar que desaparece el típico efecto de bóveda y en cambio aparece la claridad y definición dando una sensación de que el guitarrista esta presente.